среда, 23 марта 2016 г.

Другой подход к доказательству теоремы Ферма

Математика рассматривает натуральные числа как точки на числовой прямой. Мне кажется, что это немного однобоко.  Натуральные числа это не только ряд точек на числовой прямой с интервалом 1. Попробуем построить другой ряд с интервалом 3^0.5 . Все точки этого ряда – иррациональные числа. Но нам все равно понадобятся натуральные числа, чтобы найти значения этих точек: 2*3^0.5, 3*3^0.5, 4*3^0.5 ….. Натуральные числа – действие. Натуральные числа описывают алгоритм действия. Поэтому решая задачи с натуральными числами целесообразно рассуждать на языке действий и алгоритмов.

Нам понадобится  аксиома. В этой аксиоме философия (гносеология) соединяется с математикой.

Аксиома: Если на бесконечном множестве есть бесконечное количество примеров какого-либо соотношения, то все эти примеры можно объединить  (создать) одним алгоритмом. Данный алгоритм включает в себя только заранее определенные для данного множества операции и соотношения, и соответствует теореме о неполноте Генделя.

Условие (1) обусловливает бесконечное количество примеров сложения на множестве при наличии хотя бы одного примера (решения).

Теорема

f(x) – функция, соответствующая условию:
f (qx) = df (x),    (1)
q, d – целые числа

A - множество, которое задается функцией f(x) (x – целое число). Операция сложения определена на этом множестве (бесконечное количество простых решений), только если существует n (n-целое ненулевое число), для которого:
f(n)+ f(n+1)= f(n+2)     (2)
f(n), f(n+1), f(n+2)   - ненулевое число
 
Если множество имеет три последовательных числа, которые удовлетворяют условию (2) (родительскую тройку), то уравнение (3) имеет бесконечное число решений:
f(a)+ f(b)= f(c)     (3)
a, b, c – целые  числа.
f(a), f(b), f(c) – ненулевые

Если множество A не имеет трех последовательных чисел, которые удовлетворяют условию (1), то множество не имеет решения уравнения (3).

Доказательство

Если есть хотя бы одно решение (3), то при соблюдении условия (1) будет существовать бесконечное количестве решений. Следовательно, по Аксиоме, будет существовать Алгоритм.

Алгоритм должен основываться на заранее определенные операциях. На множестве A заранее определена только функция следования S(x)  и операция умножения. Кстати, на этом множестве умножение и сложение не связаны так, как на множестве  натуральных чисел.

Поэтому должна существовать родительская тройка. Например: 1+2=3, 3^2+4^2=5^2, 3^3+4^3+5^3=6^3

И наоборот, если соблюдается условие (1) и нет родительской тройки, то нет решений вообще.

Следствие1

Если множество А, которое удовлетворяет условию (1), имеет решение уравнения(3) в целых ненулевых числах, то имеет бесконечное количество решений и имеет решение в виде последовательных трех числах (родительская тройка).

Следствие 2

Функция g(x)=x^r (r>2)  удовлетворяет условию (1), но множество, которое задается функцией g(x) (x – целое ненулевое число), не удовлетворяет условию (2) . Поэтому уравнение  a^r+b^r=c^r (r>2) не имеет решения в натуральных  числах.



Комментариев нет:

Отправить комментарий